Assiomi, Teoremi e Postulati di Geometria

ASSIOMI

Assioma 1 » cose uguali ad una stessa sono uguali.

Assioma 2 » uguali aggiunti ad uguali sono uguali.

Assioma 3 » uguali sottratti ad uguali sono uguali.

Assioma 4 » cose che coincidono tra loro sono uguali.

Assioma 5 » il tutto è maggiore di ogni sua parte.

POSTULATI

Postulato 1 » da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.

Postulato 2 » ogni retta terminata si può prolungare continuamente per diritto.

Postulato 3 » con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un centro.

Postulato 4 » tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Postulato 5 » se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli alterni da una stessa parte

                       Minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte

                       In cui sono i due angoli minori di due retti.

TEOREMI DI GEOMETRIA

Teorema 1 » primo criterio di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno un angolo e i lati che lo formano in comune sono congruenti.

Ipotesi » A = A’

            » AB = A’B’

            » AC = A’C’

Tesi » ABC = A’B’C’

Dimostrazione » immagino di sovrapporre l’angolo A’ ad A con un movimento rigido in modo che

                            Vertici e lati AB e A’B’ coincidano.

                        » deduco che AB = A’B’ » per ipotesi 1

                        » deduco che AC = A’C’ e che C = C’ » per ipotesi 2,3

                        » deduco che i due triangoli hanno i vertici coincidenti

                        » possibile per assioma 4

Scheda » concetti » triangolo, angolo, lato

             » idea centrale » sovrapporre i triangoli mediante un movimento rigido

             » A.P.T.U. » assioma 4

                       

Teorema 2 » secondo criterio di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno due angoli e il loro lato comune congruente allora sono congruenti.

Ipotesi » angoli B = B’

            » angoli C = C’

            » BC = B’C’

Tesi » ABC = A’B’C’

Dimostrazione » immagino di sovrapporre mediante movimento rigido i lati A’B’ con AB

                        » è possibile per ipotesi 3

                        » osservo che le semirette A’B’ e C’A’ si sovrappongono rispettivamente

                           Ad AB e CA

                        » è possibile per l’ipotesi 1,2

                        » deduco che C’ = C quindi i triangoli sono completamente corrispondenti

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo

             » idea centrale » sovrapporre i due lati con il movimento rigido

             » A.P.T.U. » nessuno

Teorema 3 » angoli alla base del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti.

Ipotesi » AB = CA

Tesi » angoli ABC = BCA

Dimostrazione » traccio la bisettrice dell’angolo A che incontra BC nel punto H

                        » considero i triangoli BHA e HCA essi hanno:

-          AH in comune

-          AB = CA per ipotesi

-          Angoli CAH = HAB per costruzione

                        » deduco che BHA =HCA » per teorema 1

                        » in particolare gli angoli ABC = BCA » CVD

Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo

             » idea centrale » tracciare la bisettrice dell’angolo al vertice

             » A.P.T.U. » teorema 1

Teorema 4 » proprietà del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana

relativa alla base.

Ipotesi » AC = BC

            » angoli ACH = HBA

Tesi » CH AB

        » AH = HB

Dimostrazione » considero i triangoli AHC e HBC essi hanno:

-          CH in comune

-          AC = BC per ipotesi

-          Angoli ACH = HBA per ipotesi

                        » deduco che AHC = HBC » per teorema 1

                        » in particolare AH = HB » CVD 1

                        » deduco che gli angoli AHC e BHC sono retti perché adiacenti e congruenti » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo isoscele, bisettrice, altezza, mediana, angolo, base

             » idea centrale » considerare i due triangoli che si formano tracciando l’altezza

             » A.P.T.U. » teorema 1

Teorema 5 » triangolo con due angoli uguali (inverso del teorema 3)

Un triangolo avente due angoli uguali è isoscele ed ha uguali i due lati opposti ai due angoli uguali.

Ipotesi » angoli ABC = BCA

Tesi » AB = CA

Dimostrazione » traccio le bisettrici BP e QC degli angoli congruenti

                        » considero i triangoli BPC e CQB essi hanno:

-          BC in comune

-          Angoli BCP = CBQ per ipotesi

-          Angoli PBC = QCB perché metà di angoli uguali

                        » deduco che BPC = CQB » per teorema 2

                        » in particolare BP = CQ e angoli CPQ = BQC

                        » considero i triangoli BPA e CQA essi hanno:

-          BP = CQ per dimostrazione precedente

-          Angoli PBA = QCA perché supplementari di angoli uguali

-          Angolo A in comune

                        » deduco che BPA = CQA » per teorema 2

                        » in particolare AB = CA » CVD

Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo, lato

             » idea centrale » tracciare le bisettrici degli angoli congrienti

             » A.P.T.U. » teorema 2

Teorema 6 » terzo criterio di uguaglianza dei triangoli

Due triangoli aventi i lati rispettivamente congruenti sono congruenti.

Ipotesi » AB = A’B’

            » BC = B’C’

            » CA = C’A’

Tesi » ABC = A’B’C’

Dimostrazione » sposto attraverso il ribaltamento il secondo triangolo nel semipiano delimitato

                           dalla retta AB non contenente C in modo che A’B’ coincida con AB

-          triangolo acutangolo » CC’ interseca AB in D interno ad AB

-          triangolo ottusangolo » CC’ interseca AB in D esterno ad AB

-          triangolo rettangolo » CC’ interseca AB in B, uno degli angoli interni del triangolo

                        » congiungo i punti C con C’

-          triangolo acutangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli

      » angoli ACB = A’C’B’ perché somme di angoli uguali » per assioma 2

      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1

-          triangolo ottusangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli

      » angoli ACB = A’C’B’ perché differenza di angoli uguali » per assioma 3

      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1

-          triangolo rettangolo » si hanno i triangoli ABC e ABC’ essi hanno

      » AB in comune

      » due angoli del lato in comune congruenti per costruzione

      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 2

Scheda » concetti »

             » idea centrale »

             » A.P.T.U. »

Teorema 7 » primo teorema dell’angolo esterno

In un triangolo l’angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente.

Ipotesi » ACD è un angolo esterno

Tesi » ACD > A

        » ACD > B

Dimostrazione » traccio la mediana BM e un segmento MN = BM poi congiungo N a D

                        » considero i triangoli AMB e ACN essi hanno:

-          BM = MN per costruzione

-          AM = MC per costruzione

-          Angoli AMB = NMC per il teorema degli angoli opposti al vertice

                        » deduco che AMB = ACN » per teorema 1

                        » in particolare gli angoli BAM = MCN

                        » deduco che ACD > A perché è una sua parte » CVD 1

                        » con procedimento analogo dimostro che ACD > B » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo, angolo interno / esterno / adiacente

             » idea centrale » tracciare la mediana, il segmento MN e congiungerlo con D

             » A.P.T.U.» teorema 1

 

Teorema 8 » lato maggiore

In un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa.

IMPLICAZIONE DIRETTA » se AC > BC allora esiste un punto D su AC tale che AD = AB

Ipotesi » AC > BC

Tesi » angoli ABC > BAD

Dimostrazione » deduco che ABC > ABD perché BD è un raggio dell’angolo ABC

                        » ABD = ADB » per teorema 3 riferito al triangolo ABD

                        » ADB > BAD » per teorema 7 riferito al triangolo DBC

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza

             » A.P.T.U. » teorema 3,7

IMPLICAZIONE INVERSA » osservo che AC non può essere né congruente né minore di CB

Ipotesi » angoli ABC > BAD

Tesi » AC > BC

Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi

-          se fosse AC = BC » triangolo dovrebbe essere isoscele » angoli ABC = BAD » per teorema 5

-          se fosse AC < BC » ABC < BAD per implicazione diretta » negazione ipotesi

                        » deduco che AC > BC per ipotesi 1

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 5

Teorema 9 » disuguaglianza dei triangoli

In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.

Teorema 10 » lato differente da altri due

In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due

Teorema 11 » unicità perpendicolare

Se due triangoli hanno una coppia di lati a due a due congruenti e gli angoli compresi disuguali, tra i lati opposti a questi vi è una disuguaglianza nello stesso verso.

Teorema 12 » rette perpendicolari ad una trasversale

Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.

Esercizio non sviluppato. Svolgilo tu!

Ipotesi »

            »

Tesi »

Dimostrazione »

                        »

                        »

                        »

Scheda » concetti »

             » idea centrale »

             » A.P.T.U. »

Teorema 13 » rette perpendicolari

Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni congruenti allora

-          le coppie di angoli alterni esterni sono congruenti

-          le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti

-          le coppie di angoli coniugati sono supplementari

Ipotesi » 4 = 6

Tesi » 1 = 7 ; 2 = 8

        » 1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8

        » 1 + 8 ; 2 + 7 ; 3 + 6 ; 4 + 5 = 180°

Dimostrazione » osservo che 2 è opposto al vertice rispetto a 4

                        » osservo che 8 è opposto al vertice rispetto a 6

                        » deduco che 2 = 4 e 8 = 6 » per teorema degli angoli opposti al vertice

                        » deduco che 2 = 8 » per ipotesi + assioma 4 » CVD 1

                        » osservo che 3 è adiacente a 4 e che 7 è adiacente a 6

                        » deduco che 3 = 7 » per assioma 3 » CVD 2

                        » considero 4 e 5:

-          4 = 6 per ipotesi

-          5 è supplementare di 6 in quanto adiacente

                        » deduco che 5 + 6 = 180° » 6 = 4 » 5 + 4 = 180° » per assioma 2 » CVD 3

Scheda » concetti » retta, trasversale, angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati, corrispondenti

             » idea centrale » considerare 2 e 8

             » A.P.T.U. » assioma 2,3,4

Teorema 14 » teorema diretto sulle parallele

Rette che individuano con una trasversale coppie di angoli alterni congruenti sono parallele.

Ipotesi » 1 = 2

Tesi » a // b

Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi » ????????????

                        » considero il triangolo ABC

                        » considero l’angolo esterno ∂ ad ABC esso gode di queste proprietà

-          ∂ = 2 » perché angoli corrispondenti » per teorema 13

-          ∂ > 2 » perché esterno a 2 » per teorema 7

                        » osservo che c’è una contraddizione » deduco che la tesi è vera

Scheda » concetti » retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 7,13

Teorema 15 » teorema inverso sulle parallele

Nel piano euclideo due rette parallele formano con una trasversale coppie di angoli alterni interni congruenti.

Ipotesi » a // b

Tesi » 1 = 2

Dimostrazione » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » 1 > 2 » ????

                        » deduco che c // b » per teorema 14

                        » deduco che a non è parallelo a b » per postulato 5

                        » contraddizione dell’ipotesi » deduco che la tesi è vera

Scheda » concetti » piano euclideo, retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 14

                                » postulato 5

Teorema 16 » trasversale di rette parallele

Se una retta t interseca una retta r (senza coincidere), allora interseca ogni retta parallela ad r.

Teorema 17 » perpendicolare a rette parallele

Se una retta r è perpendicolare ad una retta s, allora r è perpendicolare ad ogni retta parallela a s.

Teorema 18 » distanza di due rette parallele

I punti di una retta sono equidistanti da una sua parallela.

Teorema 19 » parallela ad una parallela

Due rette che sono parallele a una stessa retta sono parallele tra loro.

Teorema  20 » lati opposti di un parallelogrammo

I lati opposti di un parallelogrammo sono congruenti.

Teorema 21 » fascio di rette

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra.

Ipotesi »  a // b // c // d

            » r, t sono trasversali

            » AB = CD

Tesi » A’B’ = C’D’

Dimostrazione » traccio la retta a’ parallela a t passante per A

                        » traccio la retta c’ parallela a t passante per C

                        » considero i parallelogrammi AA’B’B’’ e CC’D’D’’ essi hanno:

-          AB’’ = A’B’ » per teorema 20

-          CD’’ = C’D’ » per teorema 20

                        » considero i triangoli ABB’’ e CDD’’ essi hanno :

-          angoli BAB’’ = DCD’’ » perché corrispondenti di a’ // c’ » per teorema 13

-          angoli ABB’’ = CDD’’ » perché corrispondenti di a // c » per teorema 13

-          AB = CD » per ipotesi

                        » deduco che i triangoli ABB’’ = CDD’’ » per teorema 2

                        » in particolare hanno AB’’ = CD’’

                        » deduco che A’B’ = C’D’ » per la proprietà transitiva della congruenza

Scheda » concetti » rette parallele, trasversale, segmento

             » idea centrale » tracciare le rette a’’, c’’ // t

             » A.P.T.U. » teoremi 2,13,20

Teorema 22 » secondo teorema dell’angolo esterno

Dato un triangolo qualsiasi

-          ciascun angolo esterno è pari alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.

-          la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Ipotesi » ACD = angolo esterno

Tesi » angoli ACD = CAB + ABC

        » ABC + BCA + CAB = 180°

Dimostrazione » traccio la retta r // AC » per postulato 5

                        » considero AC trasversale di r e AC

                        » deduco che gli angoli CAB = ACE » per teorema 14

                        » considero AB trasversale di r e AC

                        » deduco che gli angoli ABC = ECD » per teorema 13 (sono corrispondenti)

                        » deduco che ACD = ACE + ECD

                        » deduco che ACD = CAB + ABC » per assioma 1 » CVD 1

                        » deduco che ACB + ACE + ECD = 180° » per costruzione

                        » deduco che ACB + CAB + ABC = 180° » per assioma 1 » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo, angolo esterno / interno / adiacente / piatto

             » idea centrale » tracciare la retta r // AC

             » A.P.T.U. » postulato 5

                                » assioma 1

                                » teorema 13,14

 

Teorema 23 » congiungente dei punti medi di un triangolo

Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.

Teorema 24 » trapezi

In un trapezio isoscele

-          gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti

-          le diagonali sono congruenti

Teorema 25 » proprietà del parallelogrammo

In un parallelogrammo:

-          i lati opposti sono congruenti.

-          Gli angoli opposti sono congruenti.

-          Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà (=si bisecano).

Ipotesi » ABCD è un parallelogrammo

Tesi » AD = BC

           AB = DC

        » ABC = CDA

           DAB = BCD

        » AO = OC

           DO = OB

Dimostrazione » traccio le diagonali e deduco che AB = CD e che BC = DA

                           » per teorema 20 » CDV 1

                        » deduco che gli angoli ABC = ADC » perché corrispondenti dei triangoli

                           Congruenti ABC e ACD » CVD 2

                        » deduco che gli angoli DAB = BCD » per assioma 2 (somma di angoli = )

                        » considero i triangoli DAO e  BCO essi hanno:

-          AD = BC » per teorema 20

-          Angolo D = B » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)

-          Angolo A = C » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)

                        » deduco che DAO = BCO » per teorema 2

                        » in particolare che AO = OC e DO = OB » CDV 3

Scheda » concetti » parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonale

             » idea centrale » confrontare i triangoli che si formano tracciando le diagonali

             » A.P.T.U. » assioma 2

                                » teorema 2,13,20

Teorema 26 » proprietà inverse del parallelogrammo (inverso del teorema 25)

Un quadrilatero è un parallelogrammo se è verificata anche una sola delle seguenti condizioni:

-          i lati opposti sono congruenti

-          gli angoli opposti sono congruenti

-          le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.

CONDIZIONE 1

Ipotesi » BC = AD

            » CD = AB

Tesi » BC // AD

           CD // AB

Dimostrazione » traccio la diagonale BD

                        » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:

-          BD in comune

-          BC = AD » per ipotesi 1

-          CD = AD » per ipotesi 2

                        » deduco che BCD = ABD » per teorema 6

                        » in particolare gli angoli BDA = DBC

                        » deduco che BC // AD e CD // AB » per teorema 14

CONDIZIONE 2

Ipotesi » angoli A = C

            » angoli B = D

Tesi » AD // BC

           AB // CD

Dimostrazione » deduco che la somma degli angoli interni del quadrilatero è due angoli piatti

                            » per teorema 22 (il quadrilatero infatti si può dividere in due triangoli)

                        » deduco che A + B + C + D = 2A + 2B = 360°

                        » è possibile per ipotesi 1,2

                        » deduco che A + B = 180°

                        » deduco che AD // BC » per teorema 13

                        » analogamente anche AB // CD

CONDIZIONE 3

Ipotesi » AO = OC

            » BO = OD

Tesi » AD // BC

           AB // CD

Dimostrazione » considero i triangoli AOB e COD essi hanno:

-          AO = OC » per ipotesi

-          BO = OD » per ipotesi

-          Angoli COB = DOA » per teorema degli angoli opposti al vertice

                        » deduco che AOB = COD » per teorema 1

                        » in particolare AB = DC e AD = BC

                        » deduco che AD // BC e AB // CD » per condizione 1

Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonali

             » idea centrale » condizione 1,2 » tracciare le diagonali

                                     » condizione 3 » considerare i triangoli AOD e  COB

             » A.P.T.U. » teorema 1,6,13,14

   

Teorema  27 » lati opposti del parallelogrammo (inverso del teorema 20)

un quadrilatero è un parallelogrammo se ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.

Ipotesi » AB = CD

            » AB // CD

Tesi » AD // CD

Dimostrazione » traccio la diagonale BD

                        » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:

-          AB = CD » per ipotesi

-          BD in comune

-          Angoli ABD = BDC  » per teorema 13 + ipotesi

                        » deduco che BCD = ABD » per teorema 1

                        » in particolare gli angoli ADB = DBC

                        » deduco che AD // CD » per teorema 14 » CDV

Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati opposti, parallelismo

             » idea centrale » traccio la diagonale BD

             » A.P.T.U. » teorema 1,13,14

Teorema 28 » intersezione di mediane

Il punto d’intersezione di due mediane di un triangolo le divide in due parti tali che quella uscente dal vertice è il doppio dell’altra

Ipotesi » AP = PC

            » AM = MB

Tesi » BK = 2KP

        » CK = 2 KM

Dimostrazione » traccio un segmento MP

Scheda » concetti »

             » idea centrale »

             » A.P.T.U. »

.

Teorema 29 » baricentro unico

Le mediane di un triangolo passano tutte per uno stesso punto.

Ipotesi » AM = MB

            » BN = NC

            » CP = PA

Tesi » MC  BP  AN = K

Dimostrazione » considero K il punto d’intersezione delle mediane BP MC

                        » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » la mediana AN non passa per K

                        » deduco che AN si interseca con BC in N’ ≠ N

                        » deduco che » KP = BP/3 » per teorema 28

                                              » N’P = BP/3 » per teorema 28

                        » deduco che KP = N’P

                        » contraddizione della tesi perché N’≠ K

                        » deduco che AN passa per K » CVD

Scheda » concetti » mediana, triangolo, punto

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 28

Teorema 30 » diagonali del rettangolo

Le diagonali di un rettangolo sono tutte congruenti.

Ipotesi » ABCD rettangolo

Tesi » AC = BD

Dimostrazione » traccio le diagonali AC e BD

                        » considero i triangoli ABC e BCD essi hanno:

-          AB = DC » per ipotesi

-          BC in comune

-          Gli angoli ABC = BCD » per postulato 4

                        » deduco che ABC = BCD » per teorema 1

                        » in particolare AC = BD » CVD

Scheda » concetti » diagonale, rettangolo

             » idea centrale » tracciare le diagonali

             » A.P.T.U. » postulato 4

                                » teorema 1

Teorema 31 » diagonali del rombo 1

Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.

Ipotesi » AB = BC = CD = DA

            » AB // BC // CD // DA

Tesi » angolo AOD = 90 °

Dimostrazione » traccio le diagonale del rombo e considero O punto d’intersezione tra di esse

                        » considero il triangolo ACD

                        » deduco che AD = DC » il triangolo è isoscele » per ipotesi 1

                        » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25

                        » deduco che DO è la mediana relativa alla base AC

                        » deduco che gli angoli AOD e COD = 90° » per teorema 4 » CVD

Scheda » concetti » rombo, angolo retto, perpendicolarità, diagonale

             » idea centrale » tracciare le diagonali del rombo

             » A.P.T.U. » teorema 4,25

Teorema 32 » diagonali del rombo 2

Le diagonali di un rombo sono bisettrici degli angoli.

Ipotesi » ABCD rombo

Tesi » angoli ADO = CDO

                      DCO = BCO

                      CBO = ABO

                      BAO = DAO

Dimostrazione » traccio le diagonali del rombo AC e BD

                        » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25

                        » deduco che DO è mediana di AC e bisettrice dell’angolo ADC del triangolo CDA

                           » per teorema 4

                        » deduco che gli angoli ADO = CDO » CVD

                        » dimostro analogamente anche per gli altri angoli

Scheda » concetti » rombo, diagonale, bisettrice, angolo

             » idea centrale » tracciare le diagonali

             » A.P.T.U. » teorema 4,25

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SCHEDA LIBRO - il Gattopardo

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SICILIA PRE-ELLENICA

SICILIA PREELLENICA (XIII secolo a.C. - V secolo a.C.)

- Prima dell’arrivo della colonizzazione ellenica, fu abitata da diverse popolazioni originarie del luogo

- Sicani » stanziati nella zona meridionale ed occidentale

» occupavano la maggior parte dell’isola

- Elimi » stanziati sull’estremità occidentale della Sicilia

» nascono dalla fusione di Sicani ed esuli nel XII secolo a.C.

» fondarono Erice, Elima, Entella e Segesta

» si ritiene, grazie alla testimonianza dell’Eneide, che ci fossero delle colonie troiane

» Tucidide racconta che gli Elimi erano fuggiti da Troia dopo la sua distruzione.

- Siculi » abitatori della Sicilia orientale

» appartenevano ad un popolo indoeuropeo provenienti dalla penisola italiana

» si stabiliscono sull’isola durante il XV secolo a.C.

» 1000 a.C. conquistarono i territori dei Sicani a seguito dell’eruzione dell’Etna

- Fenici » prima dell’arrivo dei Greci » occupazione di coste e isole

» dopo l’arrivo dei Greci » occupazione dell’estremità occidentale

- Morgeti » abitavano Morgation

» fondatore della città: eroe Morgete

» popolo dalle origini incerte e fondate sui miti

MITO DI ARETUSA

RIASSUNTO CAPITOLO 9 - promessi sposi

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VILLA ARMERINA

VILLA ARMERINA

- Costruita nell’epoca tardo-romana situata nella periferia di Piazza Armerina, in Sicilia

- Misura 3500 metri quadrati

- era la residenza di caccia di Massimiliano Erculeo, collega di Diocleziano nella gestione dell’impero romano.

- È tutta decorata da mosaici costruiti da maestri africani, inventori di questa arte.

- Le scene rappresentano le situazioni che più stavano a cuore ai romani: la caccia, le gare sportive, i miti.

STRUTTURA: si possono individuare cinque nuclei distinti:

- ingresso monumentale » costituito da tre arcate e dotato di un cortile

» decorato da fontane e pitture di combattimenti

» ha l’aspetto di un arco trionfale

- vestibolo » è l’accesso all’interno della casa

» lo si raggiunge attraverso alcuni gradini dall’ingresso monumentale

» pavimento con mosaici che rappresentano un adventus (= ingresso cerimoniale

di un imperatore romano nella città)

- quartiere termale » poteva essere frequentato anche da estranei

» primo vano » dotato di banchine + usato come spogliatoio

» decorato da un mosaico che raffigura la padrona di casa

con i due figli e le ancelle

» atrio » “a forcipe” (= terminante in absidi alle due estremità)

» decorato con il mosaico del Circo Massimo di Roma

» era un corridoio usato per gli esercizi ginnici al coperto

» frigidarium » sala ottagonale con due piscine

» mosaici di Eroti pescatori con Nereidi e Tritoni

» era costituita di vasche di acqua fredda (lato nord terme per

mantenere la temperatura)

» tepidarium » sala allungata decorata con pitture dei giochi dello stadio

» posto tra il frigidarium e il calidarium

» costituita da vasche di acqua tiepida

» calidarium » ambiente riscaldato rivolto a mezzogiorno

- peristilio » ha forma quadrangolare » al centro c’è una grossa fontana

- ambienti privati » sono gli appartamenti padronali

» a destra della basilica risedeva il proprietario (+ decorato, + ampio)

» a sinistra stava la padrona o il figlio del proprietario (+ piccolo)

- basilica » si trova sul lato di fondo del corridoio della grande caccia

» luogo dove il proprietario concedeva udienza e riceveva i visitatori

- vano absidato » si trova in asse col vestibolo, ha il pavimento con stile geometrico

» viene chiamato “il Sacello dei Lari”

» motivo: due quadrati intersecati decorati con una treccia con al centro

Una foglia di edera (simbolo di Dionisio)

MOSAICI:

sala della piccola caccia

- grande sala rettangolare con funzione di soggiorno per gli ospiti

- vi si accede dal portico nord del peristilio

- nel pavimento è rappresentata una battuta di caccia disposta su cinque registri

» primo registro » due servi accompagnano i cani sul luogo di caccia

» secondo registro » un personaggio compie un sacrificio incruento bruciando incenso a Diana, dea della caccia, con arco e faretra e posta sopra un’ara

» personaggio = Costanzo Cloro, Cesare di Massimiano, con alle spalle il figlio Costantino, futuro imperatore

» a destra dell’ara assiste al rito un personaggio appartenente alla famiglia di Massimiano (probabilmente è Massenzio, perché raffigurato strabico)

» terzo registro » due falconieri sono intenti a scrutare il fogliame di un albero di alloro

» quarto registro » a sinistra un cane azzanna una lepre

» a destra: cavaliere con un venabulum (= asta biforcuta) infilza una lepre

» quinto registro » a sinistra c’è la cattura dei cervi spinti in una rete

» a destra un cinghiale si avventa contro un giovane soccorso dai compagni

- al centro » i venatores (= cacciatori) sostano sotto una tenda rossa legata tra due alberi e consumano un lauto pasto, frutto della battuta di caccia

sala a ottagoni e a quadrati

- a pianta quadrangolare, ambiente per il personale di servizio che accudiva l’appartamento del Dominus

- pavimento decorato da mosaici con stile geometrico di forma ottagonale che racchiudono medaglioni con rosa o con disegni di quadrati

- funge da vestibolo alla sala dei quadrati

- alla sala a ottagoni vi si accede dal portico nord del peristilio

- nell’angolo della sala a ottagoni vi si trova un pozzo di età normanna

Sala a quadrati:

Sala a ottagoni:

ambulacro della grande caccia

- corridoio lungo 66 m di lunghezza e 5 m di larghezza

- ha le estremità absidate

- ha un portico che si apre verso il peristilio

- rappresenta una grande battuta di cattura delle bestie selvatiche che sarebbero state utilizzate per i giochi dell’anfiteatro a Roma (i cacciatori usano le armi per difendersi, non per uccidere)

- nell’abside nord si trova una figura femminile che personifica la Mauritania (o dell’Africa)

» ha ai lati un leone e un leopardo (animali tipici dell’Africa)

» tiene nella mano destra una lancia

» rappresenta il confine estremo occidentale dell’impero romano

- nell’abside sud si trova una figura femminile che personifica l’India (o l’Asia)

» la donna ha la tipica pelle olivastra delle zone orientali dell’impero romano

» affiancata da una tigre e da un elefante

» rappresenta il confine estremo orientale dell’impero romano

- due fasce laterali » rappresentano le scene di cattura vera e propria

- parte centrale » raffigura il trasporto degli animali

» rappresenta la centralità di Roma rispetto all’impero

- parte destra del mosaico è più sviluppata » le terre da rappresentare sono più vaste

» lavorata da artisti più esperti che usavano più colori, 

mentre la parte sinistra è più spenta

» evidenziati i muscoli di animali e uomini con la tecnica del chiaro scuro

Donne in bikini

- questo vestibolo presenta due pavimenti: uno a disegni geometrici, l’altro sovrapposto al primo in una fase più tarda.

Sono rappresentate delle ragazze vestite di subligar e stropkion.

- Le fanciulle sono impegnate in varie gare sportive: salto con i pesi in mano, lancio del disco, corsa campestre, gioco con la palla.

- È raffigurata l’incoronazione delle due vincitrici » una riceve corona di fiori

» una ha una ruota raggiata e sta per essere incoronata da una donna con manto aureo

- Ruota raggiata: veniva fatta rotolare a terra per mezzo di un bastoncino tenuto con una mano a dimostrare l’abilità de colei che la manovrava 

SICILIA: Punto di vista artistico - Appunti

- arte greca » tàkois kòsmos » ordine e bellezza » in rapporto di necessaria corrispondenza

- tempio » massima espressione dell’arte greca

» inizialmente erano costruiti in legno

» dal VII secolo a.C. iniziarono a costruire una muratura intorno

» erano necessarie molte risorse economiche per monumentalizzare perché gli edifici

erano di grandi dimensioni e costruiti in pietra (manodopera + materiali)

- santuario » complesso architettonico del tempio, costituito da:

» tempio maggiore

» templi minori

» tesori » templi senza il colonnato intorno che si usavano per contenere le offerte

» teatri

» circhi

- il tempio era la casa degli dei » nessuno poteva entrarci, non erano come le nostre chiese dove entri e preghi » rappresenta il legame tra la popolazione e gli dei

- le colonne sono di importanza fondamentale in un tempio » sono le fondamenta della struttura

- i santuari erano costruiti sull’acropoli = area sacra della città posta in una posizione sopraelevata rispetto alle case e al resto della poleis

» essendo ben visibile faceva ricordare in ogni momento a tutti quelli che la vedevano

l’importanza e l’impotenza davanti agli dei » continuo richiamo alla religione

- i templi venivano costruiti sempre in luoghi affascinanti » la bellezza si manifesta nella presenza del dio » religione nasce dal desiderio di trovare un’origine della bellezza del mondo

- i templi iniziano ad essere decorati e poi colorati nel corso della storia

» triglifi = motivi che, ripetendosi uguali, decorano il fregio (scene dei miti/battaglie)

- teatro = posto di estrema bellezza naturale, sorge là dove per natura vi erano dei pendii adatti a costruire la cavea, sorge solo nei posti in cui c’era una buona acustica

» nascono in onore del dio Dionisio (si iniziava la recitazione con un sacrificio a Dionisio)

» teatro è strettamente connesso alla vita religiosa

» altare = posto al centro dell’orchestra per fare i sacrifici a Dionisio

» cavea-teatron = luogo dal quale si guarda la recitazione (gradinate con sedili in legno/pietra)

» orchestra = dove danza/canta il coro

» parodo = via che gli attori attraversano per entrare in scena

» skenè = dove vanno in scena gli attori e dove vengono allestite le scenografie

- A Selinunte e Agrigento ci sono dei templi collocati dentro ad altri fuori dalla città

- VI secolo a.C. c’è una grande edificazione di templi a Siracusa (tempio di Apollo)

- Teatri di Taormina e di Siracusa vengono ricostruiti dai romani

IMPERO DI OTTAVIANO AUGUSTO

44 a.C.	- Bruto e Cassio si allontanano da Roma - Antonio si fa consegnare il testamento di Cesare e lo fa applicare - Ottaviano rientra a Roma, venuto a sapere del testamento
43 a.C.	- guerra di Modena: il senato affida un esercito ad Ottaviano che prevale su Antonio - Ottaviano rifiuta di congedare le sue truppe - Ottaviano marcia su Roma » si fa nominare console - secondo triumvirato tra Ottaviano, Antonio e Lepido
42 a.C.	Bruto e Cassio vengono sconfitti presso Filippi in Macedonia
38 a.C.	- rinnovamento del secondo triumvirato - Agrippa, generale e collaboratore di Ottaviano, stipula degli accordi con Sesto Pompeo con i quali prima lo convince alla resa, poi lo inganna uccidendolo.
35 a.C.	Fine delle dure lotte di Ottaviano contro i ribelli
32 a.C.	Scade il triumvirato
31 a.C.	- Battaglia di Azio: le flotte di Ottaviano hanno la meglio su quelle di Antonio - Antonio fugge in Egitto con Cleopatra
30 a.C.	- Le truppe di Ottaviano raggiungono Antonio - Ottaviano conquista Alessandria d’Egitto » Egitto diventa provincia romana
29 a.C.	- il senato nomina Ottaviano console - Ottaviano rifiuta la carica di tribuno della plebe - tornando da oriente celebra tre trionfi (vittoria sull’Illirico, ad Azio, in Egitto)
29-9 d.C.	Ottaviano conquista tutte le terre lungo la riva destra del Danubio
28 a.C.	- Si fa attribuire la carica di censore - diminuisce il numero dei senatori » esclude quelli a lui avversi - si fa attribuire la carica di princeps senatus » si propone come primo tra pari
27 a.C.	- cede al senato tutte le cariche che gli erano state attribuite » restituite raddoppiate - diventa proconsole delle Gallie, della Spagna e della Siria - gli viene attribuito il titolo onorifico di Augusto
23 a.C.	- Depone la carica consolare e diventa imperatore - inizia ad esercitare la potestà tribunizia » sarà tribuno della plebe da ora in poi - rifiuta il titolo di dittatore e di console a vita » richiamavano il potere di Silla
12-5 d.C.	Conquista i territori germani tra il Reno e l’Elba
6 d.C.	- il regno di Giudea viene annesso a Roma
9 d.C.	- imboscata nella foresta di Teutoburgo: i Romani vengono sconfitti dai germani - Ottaviano rinuncia ad intraprendere qualsiasi altra campagna militare